對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組的最佳方式是什么：數(shù)學(xué)模型

想象一下，你有一群30個(gè)孩子想踢足球。你想把他們分成兩支球隊(duì)，這樣他們就可以練習(xí)自己的技能，向教練學(xué)習(xí)，成為更好的球員。

但是，他們最有效的改進(jìn)方法是什么：你是否應(yīng)該根據(jù)技能水平對(duì)孩子進(jìn)行分組，將所有最熟練的球員放在一組中，其余的球員放在另一組中?或者，你應(yīng)該根據(jù)天賦和技能將他們分成兩個(gè)相等的團(tuán)隊(duì)嗎?

為了解決分組理論中這個(gè)古老的問題，羅切斯特大學(xué)的一位研究人員以及他兒時(shí)的朋友，內(nèi)華達(dá)大學(xué)拉斯維加斯分校的教育學(xué)教授轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)。

“出于培訓(xùn)目的對(duì)個(gè)人進(jìn)行選擇和分組在我們的社會(huì)中非常普遍，”羅切斯特大學(xué)醫(yī)學(xué)中心神經(jīng)病學(xué)教授，羅切斯特健康+技術(shù)中心(CHeT)主任Chad Heatwole說(shuō)。“關(guān)于以教學(xué)為目的對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組的最佳方式，存在歷史性和持續(xù)的激烈辯論。

在發(fā)表在《教育實(shí)踐與理論》雜志上的一篇論文中，研究團(tuán)隊(duì) - 其中還包括內(nèi)華達(dá)大學(xué)拉斯維加斯分校教學(xué)和學(xué)習(xí)副教授彼得·維恩斯和CHeT主任克里斯蒂娜·齊齊 - 首次開發(fā)了一種數(shù)學(xué)分組方法。該方法比較了不同的分組方法，選擇了對(duì)個(gè)人進(jìn)行分組以進(jìn)行教師指導(dǎo)教學(xué)的最佳方式。該研究在教育以及經(jīng)濟(jì)，音樂，醫(yī)學(xué)和體育方面具有廣泛的影響。

“我們的解決方案是通過純數(shù)學(xué)鏡頭來(lái)看待這個(gè)問題，評(píng)估整個(gè)樣本的最大利益，”Heatwole說(shuō)。“據(jù)我們所知，這種新穎的數(shù)學(xué)方法從未以這種方式描述或使用過。

分組理論中的兩種方法

根據(jù)全球分組理論 - 研究將個(gè)體選入組別如何影響組成員的學(xué)習(xí)和表現(xiàn) - 有兩種常見的方法將個(gè)體分組：

一種類似技能的分層分組策略，其中具有相似能力的個(gè)人被分組在一起;一組的技能比另一組多得多。想象一下課堂閱讀組，其中較高級(jí)的讀者被放在一個(gè)組中，而不太高級(jí)的讀者被放置在另一個(gè)組中。

一種橫截面分組策略，其中形成相等的組，由具有不同才能的個(gè)人組成;所有小組都有近乎平等的技能。想想兩支足球隊(duì)，每支球隊(duì)都由以前踢過足球的人和從未踢過足球的人組成。

為了評(píng)估這兩種常見的分組方法，研究人員使用了數(shù)學(xué)原理和方程式。對(duì)于他們的分析，他們從一些假設(shè)開始，包括：將形成多個(gè)小組;所涉及的個(gè)人將具有不同的技能水平;最佳的教學(xué)環(huán)境是學(xué)生以與他或她的技能水平相匹配的水平進(jìn)行教學(xué);最佳的分組系統(tǒng)將最大限度地提高所有學(xué)生的集體利益。

使用這種新穎的方法，他們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)最終目標(biāo)是改善所有人的學(xué)習(xí)時(shí)，類似技能的分層分組比橫截面或隨機(jī)分組更好。

“我們表明，從數(shù)學(xué)上講，將具有相似技能水平的個(gè)人分組可以最大限度地提高所有個(gè)體的總學(xué)習(xí)量，”Heatwole說(shuō)。“如果將技能相同的學(xué)生放在一起，教師可以以對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不太高級(jí)或微不足道的水平進(jìn)行教學(xué)，并優(yōu)化所有學(xué)生的整體學(xué)習(xí)，無(wú)論小組如何。

經(jīng)濟(jì)學(xué)是這種方法的核心，這也證實(shí)了具有較高師生比例的小團(tuán)體對(duì)最佳學(xué)習(xí)最有利。

“這就是數(shù)學(xué)顯示的”

當(dāng)然，該規(guī)則也有一些警告。研究人員的方法假設(shè)最終目標(biāo)是為每個(gè)人獲得最大的集體利益。如果最終目標(biāo)是不同的——例如，如果目標(biāo)是以犧牲所有其他運(yùn)動(dòng)受訓(xùn)者為代價(jià)培養(yǎng)一名奧運(yùn)運(yùn)動(dòng)員——那么結(jié)論和最優(yōu)方法可能會(huì)有所不同。

“在后一種情況下，你會(huì)設(shè)計(jì)教練并訓(xùn)練其他球員，以造福或成長(zhǎng)一名球員，”希特沃勒說(shuō)。“這可能意味著沒有其他人受益，而一個(gè)人受益程度最高。但這不是我們方法的設(shè)計(jì)方式。

相反，這種方法采取的是“我們?nèi)绾翁岣呙總€(gè)人”的觀點(diǎn)，他說(shuō)。“我們?cè)鯓硬拍芙⒁粋€(gè)讓所有學(xué)生受益最大的教學(xué)環(huán)境?”

希瑟沃爾認(rèn)識(shí)到研究人員的結(jié)論可能引起爭(zhēng)議，但他說(shuō)，這種方法說(shuō)明了數(shù)學(xué)如何提供一種公正的方法來(lái)解決日常問題。

“這就是其中美麗的部分，”他說(shuō)。“我們只是把事實(shí)擺出來(lái)，說(shuō)這些是假設(shè)，這是數(shù)學(xué)方法，這就是數(shù)學(xué)所顯示的。這是一個(gè)實(shí)際的例子，說(shuō)明數(shù)學(xué)和科學(xué)如何幫助解決古老的問題，并促進(jìn)各方的學(xué)習(xí)，成長(zhǎng)和潛力。