對學(xué)生進行分組的最佳方式是什么：數(shù)學(xué)模型

想象一下，你有一群30個孩子想踢足球。你想把他們分成兩支球隊，這樣他們就可以練習(xí)自己的技能，向教練學(xué)習(xí)，成為更好的球員。

但是，他們最有效的改進方法是什么：你是否應(yīng)該根據(jù)技能水平對孩子進行分組，將所有最熟練的球員放在一組中，其余的球員放在另一組中?或者，你應(yīng)該根據(jù)天賦和技能將他們分成兩個相等的團隊嗎?

為了解決分組理論中這個古老的問題，羅切斯特大學(xué)的一位研究人員以及他兒時的朋友，內(nèi)華達(dá)大學(xué)拉斯維加斯分校的教育學(xué)教授轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)。

“出于培訓(xùn)目的對個人進行選擇和分組在我們的社會中非常普遍，”羅切斯特大學(xué)醫(yī)學(xué)中心神經(jīng)病學(xué)教授，羅切斯特健康+技術(shù)中心(CHeT)主任Chad Heatwole說。“關(guān)于以教學(xué)為目的對學(xué)生進行分組的最佳方式，存在歷史性和持續(xù)的激烈辯論。

在發(fā)表在《教育實踐與理論》雜志上的一篇論文中，研究團隊 - 其中還包括內(nèi)華達(dá)大學(xué)拉斯維加斯分校教學(xué)和學(xué)習(xí)副教授彼得·維恩斯和CHeT主任克里斯蒂娜·齊齊 - 首次開發(fā)了一種數(shù)學(xué)分組方法。該方法比較了不同的分組方法，選擇了對個人進行分組以進行教師指導(dǎo)教學(xué)的最佳方式。該研究在教育以及經(jīng)濟，音樂，醫(yī)學(xué)和體育方面具有廣泛的影響。

“我們的解決方案是通過純數(shù)學(xué)鏡頭來看待這個問題，評估整個樣本的最大利益，”Heatwole說。“據(jù)我們所知，這種新穎的數(shù)學(xué)方法從未以這種方式描述或使用過。

分組理論中的兩種方法

根據(jù)全球分組理論 - 研究將個體選入組別如何影響組成員的學(xué)習(xí)和表現(xiàn) - 有兩種常見的方法將個體分組：

一種類似技能的分層分組策略，其中具有相似能力的個人被分組在一起;一組的技能比另一組多得多。想象一下課堂閱讀組，其中較高級的讀者被放在一個組中，而不太高級的讀者被放置在另一個組中。

一種橫截面分組策略，其中形成相等的組，由具有不同才能的個人組成;所有小組都有近乎平等的技能。想想兩支足球隊，每支球隊都由以前踢過足球的人和從未踢過足球的人組成。

為了評估這兩種常見的分組方法，研究人員使用了數(shù)學(xué)原理和方程式。對于他們的分析，他們從一些假設(shè)開始，包括：將形成多個小組;所涉及的個人將具有不同的技能水平;最佳的教學(xué)環(huán)境是學(xué)生以與他或她的技能水平相匹配的水平進行教學(xué);最佳的分組系統(tǒng)將最大限度地提高所有學(xué)生的集體利益。

使用這種新穎的方法，他們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)最終目標(biāo)是改善所有人的學(xué)習(xí)時，類似技能的分層分組比橫截面或隨機分組更好。

“我們表明，從數(shù)學(xué)上講，將具有相似技能水平的個人分組可以最大限度地提高所有個體的總學(xué)習(xí)量，”Heatwole說。“如果將技能相同的學(xué)生放在一起，教師可以以對學(xué)生來說不太高級或微不足道的水平進行教學(xué)，并優(yōu)化所有學(xué)生的整體學(xué)習(xí)，無論小組如何。

經(jīng)濟學(xué)是這種方法的核心，這也證實了具有較高師生比例的小團體對最佳學(xué)習(xí)最有利。

“這就是數(shù)學(xué)顯示的”

當(dāng)然，該規(guī)則也有一些警告。研究人員的方法假設(shè)最終目標(biāo)是為每個人獲得最大的集體利益。如果最終目標(biāo)是不同的——例如，如果目標(biāo)是以犧牲所有其他運動受訓(xùn)者為代價培養(yǎng)一名奧運運動員——那么結(jié)論和最優(yōu)方法可能會有所不同。

“在后一種情況下，你會設(shè)計教練并訓(xùn)練其他球員，以造?；虺砷L一名球員，”希特沃勒說。“這可能意味著沒有其他人受益，而一個人受益程度最高。但這不是我們方法的設(shè)計方式。

相反，這種方法采取的是“我們?nèi)绾翁岣呙總€人”的觀點，他說。“我們怎樣才能建立一個讓所有學(xué)生受益最大的教學(xué)環(huán)境?”

希瑟沃爾認(rèn)識到研究人員的結(jié)論可能引起爭議，但他說，這種方法說明了數(shù)學(xué)如何提供一種公正的方法來解決日常問題。

“這就是其中美麗的部分，”他說。“我們只是把事實擺出來，說這些是假設(shè)，這是數(shù)學(xué)方法，這就是數(shù)學(xué)所顯示的。這是一個實際的例子，說明數(shù)學(xué)和科學(xué)如何幫助解決古老的問題，并促進各方的學(xué)習(xí)，成長和潛力。