數(shù)學(xué)家提出了一種簡(jiǎn)化物質(zhì)通過細(xì)胞壁轉(zhuǎn)移的數(shù)學(xué)模型的方法

RUDN大學(xué)的一位數(shù)學(xué)家提出了一種使用橢圓算子的分?jǐn)?shù)次冪對(duì)方程進(jìn)行數(shù)值求解的新方案。新方案比現(xiàn)有方案工作得更快，因?yàn)樗紤]了此類方程在奇點(diǎn)處解的性質(zhì)。該結(jié)果對(duì)于計(jì)算擴(kuò)散過程可能有用，例如，多孔介質(zhì)中的流體泄漏，營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)通過細(xì)胞壁的轉(zhuǎn)移以及彈性材料的破裂。該研究發(fā)表在《計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》上。

經(jīng)典擴(kuò)散 方程是偏微分方程。它描述了物質(zhì)在特定環(huán)境中的分布過程。該方程的解是時(shí)間t和點(diǎn)x的函數(shù)，它表示在時(shí)間t點(diǎn)x處物質(zhì)的濃度u(t，x)。如果介質(zhì)是均質(zhì)的，則擴(kuò)散方程包含關(guān)于u的t的一階導(dǎo)數(shù)和關(guān)于坐標(biāo)的u的二階導(dǎo)數(shù)之和。該和稱為拉普拉斯算子，并且在數(shù)學(xué)和物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中使用，包括復(fù)函數(shù)理論和Schrödinger方程。

RUDN大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)計(jì)算方法科學(xué)中心的數(shù)學(xué)家Petr Vabishchevich和他的同事Raimondas Ciegis，立陶宛維爾紐斯維爾紐斯·吉迪米納斯技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)教授，認(rèn)為分?jǐn)?shù)擴(kuò)散方程的一種變體是拉普拉斯算子被帶到分?jǐn)?shù)階。程度由公式確定，從理論上講很方便，但完全不適合計(jì)算。同時(shí)，與解決方案相關(guān)的實(shí)用計(jì)算是應(yīng)用程序中的重要任務(wù)。

如果很難以一般形式求解方程，則數(shù)學(xué)家會(huì)使用數(shù)值方法。有幾種傳統(tǒng)上用于分?jǐn)?shù)擴(kuò)散方程。例如，其中之一假設(shè)解決方案簡(jiǎn)化為幾種稱為本地系統(tǒng)的順序解決方案。這些系統(tǒng)具有橢圓性，即這些方程類似于無分?jǐn)?shù)階的擴(kuò)散方程。這樣的系統(tǒng)在數(shù)值上很好地解決了。但是，當(dāng)需要從獲得的解決方案中“整體”解決原始問題的近似解決方案時(shí)，這些部分就無法始終“很好地”配合在一起-獲得的解決方案有時(shí)會(huì)準(zhǔn)確地近似于原始問題的解決方案，有時(shí)它差別很大。

Petr Vabishchevich和他的同事選擇了另一種方法，將分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的解簡(jiǎn)化為多個(gè)局部系統(tǒng)。從某種意義上講，所得的系統(tǒng)不具有橢圓性，甚至更差。而且，該系統(tǒng)包括具有不連續(xù)性的功能，這通常意味著對(duì)于數(shù)值問題的可解決性較低。但是在這種特殊情況下，事實(shí)證明，對(duì)計(jì)算時(shí)間步的正確選擇以及對(duì)系統(tǒng)本身的良好選擇，都可以使數(shù)值解非常精確地近似于原始問題。

而且，似乎RUDN大學(xué)數(shù)學(xué)家提出的方法通常比同等方法更快。這是因?yàn)橄蛐陆鉀Q方案的過渡發(fā)生在新方案的最后一步。在其他方法中，逼近過程分為多個(gè)階段，這導(dǎo)致了計(jì)算誤差的累積。新方法不會(huì)發(fā)生這種情況。

分?jǐn)?shù)擴(kuò)散方程式描述了所謂的異常擴(kuò)散，例如，液體在具有不連續(xù)性的多孔介質(zhì)中的分布。另外，分?jǐn)?shù)擴(kuò)散通常描述了營(yíng)養(yǎng)素在細(xì)胞內(nèi)和組織中的轉(zhuǎn)移。這些一般形式的方程是不可解的，因此，科學(xué)家使用數(shù)值逼近，即近似解。RUDN大學(xué)的數(shù)學(xué)家的新方法將使許多情況下的計(jì)算速度更快。