數(shù)學(xué)家證明了一個(gè)定理 可以幫助計(jì)算多孔巖中水的運(yùn)動(dòng)

RUDN大學(xué)的數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散問題的一維解的唯一連續(xù)定理。例如，使用這樣的方程式來解決顆粒在多孔介質(zhì)中擴(kuò)散的問題，例如地下水的滲漏。數(shù)學(xué)家的工作結(jié)果可能會(huì)導(dǎo)致對(duì)解決方案及其數(shù)值模擬的更準(zhǔn)確分析。在一般情況下，對(duì)于其他類別的相似方程式，則沒有此類連續(xù)定理。該文章發(fā)表在《分?jǐn)?shù)微積分和應(yīng)用分析》雜志上。

該擴(kuò)散方程是描述顆粒的滲透到介質(zhì)中的偏微分方程。其解決方案是一種功能ü的噸和X，這使得在點(diǎn)粒子的密度X在時(shí)間噸。一維擴(kuò)散方程包含的衍生物ü相對(duì)于噸，以及衍生物ü相對(duì)于X和的二階導(dǎo)數(shù)ü相對(duì)于X。

一維方程也稱為熱傳導(dǎo)方程：熱傳播可以視為一種擴(kuò)散形式。在一維分?jǐn)?shù)擴(kuò)散方程中，u相對(duì)于t的導(dǎo)數(shù)由Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)代替。如果導(dǎo)數(shù)是比率的極限，則分?jǐn)?shù)階a的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)由積分公式確定，其中對(duì)于整數(shù)值a有導(dǎo)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)值。對(duì)于通常的一維擴(kuò)散方程，可以證明一個(gè)連續(xù)定理[s]。[/ s]指出，如果粒子的密度和通量在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的一個(gè)邊界點(diǎn)處為零，則沒有擴(kuò)散在考慮中的x和t中。即使是一年級(jí)的學(xué)生也可以理解這一說法的證據(jù)，但是直到最近，分?jǐn)?shù)擴(kuò)散方程的相似結(jié)果還是未知的。

RUDN大學(xué)的數(shù)學(xué)家山本昌宏和他的同事們考慮了任意參數(shù)a的一維分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，其值介于0和1之間。他們?cè)O(shè)法證明在分?jǐn)?shù)階情況下，在相同的情況下，還存在一個(gè)連續(xù)定理。公式：如果在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)一個(gè)邊界點(diǎn)處的粒子密度和通量為零，則沒有任何擴(kuò)散。

證明的想法是這樣的：數(shù)學(xué)家采取一個(gè)解決方案，研究其在連續(xù)過程中的行為，然后根據(jù)參數(shù)獲得對(duì)該解決方案增加的積分估計(jì)。從積分估計(jì)得出，唯一令人滿意的解是零解。對(duì)于帶有分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的相似方程式，沒有已知的相似估計(jì)。

分?jǐn)?shù)擴(kuò)散方程式被應(yīng)用于物理學(xué)，數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。例如，該方程式描述了顆粒在多孔介質(zhì)中的擴(kuò)散。這樣的方程已被成功地用來描述地下水污染排放的行為。這種方程式的另一個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域是圖像處理。